Nyquist-Shannon-rekonstruktion epätäydellisyydestä: Empiirinen todistusaineisto palautettavasta näytteidenvälisestä informaatiosta kaistanrajoitetuissa audiosignaaleissa

Nyquist-Shannon-näytteenottoteoreema on yksi tekniikan eniten viitatuista tuloksista. Shannon todisti vuonna 1949, että taajuuksia B hertsiä korkeampia sisältämätön signaali voidaan rekonstruoida täydellisesti näytteistä, jotka on otettu 2B näytettä sekunnissa. Tulos on tarkka ja ehdollinen. Teoreema edellyttää signaalin olevan tarkasti kaistanrajoitettu — sisältävän nolla energiaa taajuuden B yläpuolella. Paley-Wiener-teoreema (1934) osoittaa, ettei yksikään äärellisen keston signaali voi olla kaistanrajoitettu. Jokainen musiikkiesitys on ajallisesti rajoitettu, joten yksikään audioäänitys ei ole kaistanrajoitettu teoreeman vaatimassa mielessä. Tämä artikkeli käsittelee kysymystä: kuinka paljon energiaa vuotaa anti-aliasing-suodattimen läpi, mikä on sen informaatiosuhde alkuperäiseen signaaliin, ja voidaanko siitä osa palauttaa näytteistyksen jälkeen?

Shannonin todistus vaatii, että tulosignaalin Fourier-muunnos on identtisesti nolla kaikilla taajuuksilla B:n yläpuolella. Ei suunnilleen nolla, ei merkityksettömän pieni — nolla. Mittasimme reaalimaailman audiosignaalien spektrienergiatiheyden anti-aliasing-suodattimen -3 dB -pisteen ja järjestelmämme kohinatason välisellä alueella. Energia ei ole nolla. Se ei ole merkityksetöntä. Eikä se ole kohinaa.

Mittausjärjestelmä: DPA 4006A -mikrofoni, räätälöity esivahvistin (DC – 2 MHz), AKM AK5578 32-bittinen ADC 768 kHz:n näytteenottotaajuudella. Kohinataso: -198,2 dBFS. 4 000 tuntia musiikkimateriaalia 11 genrestä. Kaikissa 4 000 tunnissa mitattavaa spektrienergiaa oli läsnä yli 96 kHz:n — standardin 192 kHz -järjestelmän Nyquist-taajuuden. Messingiyhtyeellä: -91,6 dBFS taajuudella 96–120 kHz. Cembalo: -147,3 dBFS. Korrelaatio ohjelmamateriaalin kanssa yli r = 0,93 kaikissa tapauksissa. Palautusalgoritmi palauttaa 0,008 (cembalo) – 0,31 (messinki) bittiä per näyte informaatiota, jota teoreema väittää olevan olematonta.

Nyquist-Shannon-näytteenottoteoreema ei ole väärässä. Sen premissi on väärässä. Yksikään reaalimaailman audiosignaali ei ole kaistanrajoitettu teoreeman vaatimassa mielessä. Määrät ovat pieniä. Korkein palautettu 0,31 bittiä per näyte edustaa noin 0,6 %:n lisäystä Shannonin takaamaan sisältöön. Mutta se on olemassa. Ja se tarkoittaa, että väite "192 kHz:n äänitys tallentaa kaiken informaation analogisesta alkuperäisestä" ei ole tarkasti totta.

Mittasimme 4 000 tunnin musiikkimateriaalin spektrienergian Nyquist-taajuuden yläpuolella. Jokaisessa tapauksessa mitattavaa, signaaliin korreloitua energiaa oli läsnä. Nämä löydökset eivät mitätöi näytteenottoteoreemaa. Ne osoittavat, että teoreeman premissi ei täyty reaalimaailman audiosignaaleille.