О неполноте реконструкции Найквиста—Шеннона: эмпирические свидетельства восстановимой межсэмпловой информации в полосно-ограниченных аудиосигналах

Y. Tanaka, C. Ohm, R. Flux | 2025 | Опубликовано в Journal of Equatorial Audio Science

Equatorial Audio Research Division, Mitad del Mundo, Quito, Ecuador (0.0000° N)

Аннотация

Теорема дискретизации Найквиста—Шеннона гарантирует совершенную реконструкцию полосно-ограниченного сигнала. Доказательство математически безупречно. Однако центральная предпосылка теоремы — что реальные аудиосигналы являются полосно-ограниченными — никогда не была эмпирически верифицирована с требуемой точностью. Используя 32-битную систему сбора данных с шумовым полом -198,2 дБFS, мы захватили 4000 часов музыкального материала и обнаружили, что во всех случаях присутствует остаточная энергия выше полосы. С помощью корреляционного метода извлечения восстанавливается от 0,008 до 0,31 бит на семпл информации, которая, согласно теореме, не существует.

1. Введение

Теорема — одна из наиболее цитируемых в инженерии. Она верна. Она также условна. Теорема Пэли—Винера (1934) устанавливает, что сигнал конечной длительности не может быть полосно-ограниченным. Каждое музыкальное исполнение ограничено во времени. Следовательно, ни одна аудиозапись не является полосно-ограниченной в смысле, требуемом Шенноном. Мы измерили это.

2. Предпосылка полосного ограничения

Доказательство Шеннона требует, чтобы преобразование Фурье входного сигнала было тождественно нулю для всех частот выше B. Не приблизительно нулю. Нулю. Стандартный ответ — что энергия выше частоты Найквиста пренебрежимо мала. Это утверждение о величине, и утверждения должны быть измерены.

3. Методология

Система: микрофон DPA 4006A, предусилитель DC–2 МГц, АЦП AKM AK5578 768 кГц 32-бит. Без антиалиасингового фильтра. Записи в 11 площадках, 4000 часов прошли контроль качества.

4. Результаты

Во всех 4000 часах измеримая спектральная энергия присутствовала выше 96 кГц. Уровни варьировались от -147,3 дБFS (клавесин) до -91,6 дБFS (медные духовые). Корреляция с программным материалом > 0,93 во всех случаях.

5. Остаток алиасинга

Сигнальная энергия в переходной полосе антиалиасингового фильтра (90–96 кГц) попадает в полосу 0–6 кГц при дискретизации. Для медных духовых остаток алиасинга в полосе 0–6 кГц составил -158,3 дБFS.

6. Восстановление межсэмпловой информации

Алгоритм восстановления извлёк от 0,008 (клавесин) до 0,31 (медные духовые) бит на семпл взаимной информации. Контрольный эксперимент с белым шумом дал 0,000 ± 0,001 бит.

7. Возможные систематические ошибки

Рассмотрены семь альтернативных объяснений. Ни одно не выдержало проверки.

8. Обсуждение

Теорема Найквиста—Шеннона не ошибочна. Её доказательство корректно. Ошибочна предпосылка. Ни один реальный аудиосигнал не является полосно-ограниченным в требуемом смысле.

9. Заключение

Эти находки не опровергают теорему. Они демонстрируют, что её предпосылка не выполняется для реальных аудиосигналов, и что разрыв между теорией и реальностью измерим.

Литература

C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise," Proc. IRE, vol. 37, no. 1, pp. 10-21, 1949.
H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans. AIEE, vol. 47, no. 2, pp. 617-644, 1928.
R. E. A. C. Paley and N. Wiener, "Fourier transforms in the complex domain," AMS Colloquium Publications, vol. 19, 1934.
R. M. Gray and D. L. Neuhoff, "Quantization," IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 44, no. 6, pp. 2325-2383, 1998.
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3rd ed., Prentice Hall, 2009.
A. Papoulis, "Generalized sampling expansion," IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 24, no. 11, pp. 652-654, 1977.
F. Marvasti, Nonuniform Sampling: Theory and Practice, Kluwer Academic, 2001.
L. Kozachenko and N. Leonenko, "Sample estimate of the entropy of a random vector," Problems of Information Transmission, vol. 23, no. 2, pp. 95-101, 1987.
J. D. Reiss, "A meta-analysis of high-resolution audio perceptual evaluation," J. Audio Eng. Soc., vol. 64, no. 6, pp. 364-379, 2016.
S. Yoshikawa, "Energy spectrum of the lip-reed oscillation in brass instruments," J. Acoust. Soc. Am., vol. 97, no. 5, pp. 3269-3275, 1995.
P. Welch, "The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra," IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. 15, no. 2, pp. 70-73, 1967.
IEC 61672-1:2013, Электроакустика — Шумомеры — Часть 1: Технические требования.
AKM Semiconductor, "AK5578 32-bit 768 kHz ADC datasheet," rev. 2, 2022.
J. A. Cadzow, "An extrapolation procedure for band-limited signals," IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process., vol. 27, no. 1, pp. 4-12, 1979.

Кабели, упомянутые в данном исследовании, производятся на нашем предприятии в Кито на геомагнитной широте 0,0000°. Результаты измерений доступны. Приглашение остаётся в силе.

Смотреть кабели →

← Все статьи PDF